Propriedades mágicas dos números inteiros – 11/01/2022 – Marcelo Viana

Propriedades mágicas dos números inteiros – 11/01/2022 – Marcelo Viana


A “Aritmética”, de Diofanto de Alexandria, matemático grego do século 3, é uma das obras mais influentes e profícuas da matemática. Consistia originalmente de 13 “livros” (capítulos), mas só seis deles eram conhecidos em 1621, quando o matemático e poeta francês Claude Bachet (1581–1638) publicou uma tradução comentada para o latim (quatro capítulos mais foram descobertos em 1968, na biblioteca de um templo no Irã). A tradução de Bachet teve um papel singular na história da teoria dos números.

Foi nas suas margens que Fermat escreveu, em 1637, que sabia provar que a equação xn+yn=zn não tem soluções inteiras positivas quando n é um inteiro maior do que 2. Essa famosa afirmação tornou-se conhecida como “o último teorema de Fermat”, mas só foi provada em 1993/94 pelo inglês Andrew Wiles.

Em outro ponto do livro, Bachet aponta que Diofanto parecia achar que todo inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de quatro quadrados perfeitos, ou seja, quatro números da forma a2 onde a é um inteiro (por exemplo, 42 = 22+22+32+52). Bachet escreve que conferiu esse fato para todos os inteiros até 325, e que gostaria de ver uma prova de que ele é sempre verdade.

Fermat leu com atenção e encontrou uma prova. Pelo menos é o que contou em várias cartas escritas nas décadas de 1630 a 1650. Aliás, foi além, afirmando que todo inteiro é soma de três números triangulares, quatro números quadrados, cinco números pentagonais e assim sucessivamente. Para variar, Fermat não publicou o raciocínio, mas os historiadores acreditam que neste caso ele sabia mesmo provar esse belo resultado.

Euler se interessou pela questão dos quatro quadrados, a partir de 1730, obtendo avanços parciais. Mas a solução completa só foi alcançada por Lagrange em 1772 (atualmente, o resultado é chamado teorema de Lagrange). No ano seguinte, Euler publicou um trabalho em que parabeniza o colega francês e apresenta outra solução.

A questão dos três números triangulares foi provada por Gauss em 10 de julho de 1796. Sabemos a data exata porque ele anotou no seu diário: “Eureka! num = Δ + Δ + Δ”.

A afirmação geral de Fermat (para números triangulares, quadrados, pentagonais etc) foi, finalmente, resolvida por Cauchy em 1813. Mas a história estava longe de terminar. Voltarei a ela nas próximas semanas.


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